Точные нерегулярные решения радиального уравнения Шрёдингера для случая водородоподобных атомов

В этом исследовании предлагается новая методология получения явного замкнутого представления двух линейно независимых решений большого класса обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка со специальными полиномиальными коэффициентами. Предложенный подход применяется для получения замкнутых форм регулярных и нерегулярных решений кулоновского уравнения Шредингера для электрона, находящегося под действием кулоновской силы, и приводятся примеры. Методология отличается от основанной на использовании полиномов Лагерра или вырожденных гипергеометрических функций.

Радиальное распределение аналитических, как регулярных, так и нерегулярных, решений размывается по мере увеличения энергии системы от сильно отрицательных значений до значений, близких к нулю. Порог и асимптотика показывают, что регулярные решения имеют зависимость  r^l вблизи начала координат, а нерегулярные решения расходятся как  r^-l-1. Кроме   того, обычные решения cпадают экспоненциально пропорционально r^(n-1) exp(-r/n), в естественных единицах, а нерегулярные решения растут как  r^(-n-1) exp(r/n). Знание нерегулярных решений в замкнутой форме приводит к изучению аналитического продолжения в область комплексных энергий, комплексного углового момента и решений, необходимых для изучения полюсов связанного состояния и траекторий Редже.

1. Geilhufe M., Achilles S., et al. Numerical Solution of the Relativistic Single-Site Scattering Problem for the Coulomb and the Mathieu Potential. J. Phys. Condens. Matter, 2015, 27 (43), 435202.

2. Newton R.G. Comment on “Penetrability of a One-Dimensional Coulomb Potentiala” by M. Moshinsky. J. Phys. Math. Gen., 1994, 27 (13), P. 4717–4718.

3. Cantelaube Y.C. Solutions of the Schrodinger Equation, boundary condition at the origin, and theory of distributions. ArXiv:1203.0551, 2012.¨

4. Khelashvili A., Nadareishvili T. Delta-Like Singularity in the Radial Laplace Operator and the Status of the Radial Schrodinger Equation.¨ Bulletin of The Georgian National Academy of Sciences, 2012, 6 (1), P. 69–73.

5. Seaton M.J. Coulomb Functions for Attractive and Repulsive Potentials and for Positive and Negative Energies. Comput. Phys. Commun., 2002, 146 (2), P. 225–249.

6. Khalilov V.R., Mamsurov I.V. Planar Density of Vacuum Charge Induced by a Supercritical Coulomb Potential, Phys. Lett. B, 2017, 769, P. 152– 158.

7. Michel N. Precise Coulomb Wave Functions for a Wide Range of Complex `, η and z. Comput. Phys. Commun., 2007, 176 (3), P. 232–249.

8. Galiev V.I., Polupanov A.F. Accurate Solutions of Coupled Radial Schrodinger Equations.¨ J. Phys. Math. Gen., 1999, 32 (29), P. 5477–5492.

9. Schulze-Herberg A. On Finite Normal Series Solution of the Schrodinger Equation with Irregular Singularity. Foundations of Physics Letters 2000, 13 (1), P. 11–27.

10. Gersten A. Wavefunction Expansion in Terms of Spherical Bessel Functions, J. Math. Phys., 1971, 12 (6), P. 924–929.

11. Mukhamedzhanov A.M., Irgaziev B.F., Goldberg V.Z., Orlov Yu.V., Qazi I. Bound, Virtual, and Resonance S-Matrix Poles from the Schrodinger¨ Equation. Phys. Rev. C, 2010, 81 (5), 054314.

12. Cattapan G., Maglione E. From Bound States to Resonances: Analytic Continuation of the Wave Function. Phys. Rev. C, 2000, 61 (6), 067301.

13. Midy P., Atabek O., Oliver G. Complex Eigenenergy Spectrum of the Schrodinger Equation Using Lanczos’ Tau Method.´ J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys., 1993, 26 (5), P. 835–853.

14. Thompson I.J., Barnett A.R. Coulomb and Bessel Functions of Complex Arguments and Order. J. Comput. Phys., 1986, 64 (2), P. 490–509.

15. Frobenius F.G. Ueber die Integration der linearian Differential gleichugen durch Reihen. J. Reine Angew. Math., 1873, 76, P. 214–235.

16. Gaspard D. Connection formulae between Coulomb wave functions. J. of Math. Phys., 2018, 59 (11), 112104.

17. Toli I., Zou S. Schrodinger Equation With Coulomb Potential Admits No Exact Solutions.¨ Chemical Physics Letters: X, 2019, 737, 100021.

18. Messiah A. Quantum Mechanics, Vol. I, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1967. (Translated from French by G.M. Temmer, Rutgers).

19. . Simos T.E. Exponentially-Fitted Multiderivative Methods For The Numerical Solution of the Schrodinger Equation.¨ J. of Mathematical Chemistry, 2004, 36 (1), P. 13–27.

20. Parke W.C., Maximon L.C. Closed-form Second Solution to the Confluent Hypergeometric Difference Equation in the Degenerate Case. Int. J. of Difference Equations, 2016, 11 (2), P. 203–214.

21. Yi-Hsin Liu, Wai-Ning Mai. Solution of The Radial Equation For Hydrogen Atom: Series Solution or Laplace Transform. Int. J. of Mathematical Education in Science and Technology, 1990, 21 (6), P. 913–918.