О решениях нелинейного интегрального уравнения тип Хаммерштейна и его приложения к мерам гиббса длянепрерывной спиновой системы

В данной работе рассматривается проблема построения ядер уравнений типа Хаммерштейна, чьи положительные решения не являются уникальными. Эта проблема возникает из теории мер Гиббса, и каждое положительное решение уравнения соответствует одной трансляционно-инвариантной мере Гиббса. Кроме того, проблема поиска ядер, для которых количество положительных решений уравнения превышает одно, эквивалентна проблеме поиска моделей с фазовым переходом. Проблема построения ядер уравнения, для которых есть как минимум два положительных решения, также изучается в [1, 4, 12, 13, 15]. В этих статьях количество решений, соответствующих построенным ядрам, не превышает 3, и в свою очередь, это дает нам возможность проверить наличие фазовых переходов. Построенные в данной статье ядра более общие, чем ядра в упомянутых выше работах, и помимо проверки фазовых переходов, они позволяют классифицировать множество мер Гиббса.

1. Dolezale V. Monotone operators and its applications in automation and network theory, in: Studies in Automation and Control. Elsevier Science Publ, New York, 1979.

2. Friedli S., Velenik Y. Statistical Mechanics of Lattice Systems. Cambridge University Press, 2017.

3. Georgii H.O. Gibbs Measures and Phase Transitions. de Gruyter Studies in Mathematics, 2011.

4. Rozikov U.A. Gibbs measures on Cayley trees, World Sci. Pub, Singapore, 2013.

5. Rozikov U.A. and Eshkabilov Yu. Kh. On models with uncountable set of spin values on a Cayley tree: Integral equations. Math. Phys. Anal. Geom., 2010, 13, P. 275–286.

6. Eshkabilov Yu. Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree. Math. Phys. Anal. Geom., 2013, 16(1), P. 1-17.

7. Botirov G., Jahnel B. Phase transitions for a model with uncountable spin space on the Cayley tree: the general case. Positivity, 2019, 23, P. 291– 301.

8. Eshkabilov Yu. Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Non-uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley Tree. J.Stat.Phys., 2012, 147, P. 779–794.

9. Jahnel B., Christof K., Botirov G. Phase transition and critical value of nearest-neighbor system with uncountable local state space on Cayley tree. Math. Phys. Anal. Geom., 2014, 17, P. 323–331.

10. Eshkabilov Yu. Kh., Haydarov F.H. On positive solutions of the homogeneous Hammerstein integral equation. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2015, 6(5), P. 618–627.

11. Eshkabilov Yu. Kh., Nodirov Sh.D., Haydarov F.H. Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs Measures. Positivity, 2016.

12. Eshkabilov Yu. Kh., Nodirov Sh.D. Positive Fixed Points of Cubic Operators on R2 and Gibbs Measures, Jour.Sib.Fed. Univer.Math.Phys., 2019, 12(6), P. 663–673.

13. Haydarov F.H. Fixed points of Lyapunov integral operators and Gibbs measures. Positivity, 2018, 22(4), P. 1165–1172.

14. Eshkabilov Yu. Kh., Haydarov F.H. Lyapunov operator L with degenerate kernel and Gibbs measures. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2017, 8(5), P. 553–558.

15. Haydarov F.H. Existence and uniqueness of fixed points of an integral operator of Hammerstein type. Theor. Math. Phys., 2021, 208, P. 1228–1238.

16. Ganikhodjaev N.N. Exact solution of an Ising model on the Cayley tree with competing ternary and binary interactions. Theor. Math. Phys., 2002, 130, P. 419–424.