Экстремальность мер Гиббса для модели молекулы ДНК-Изинга на дереве Кэли

Мы рассматриваем модель молекулы ДНК-Изинга на дереве Кэли порядка k ≥ 2. Для этой модели мы выводим систему функциональных уравнений, где каждое положительное решение соответствует мере Гиббса. На дереве Кэли общего порядка мы можем решить модель точно. В частности, найдена точное значение критической температуры T_c для любого k ≥ 2 так, что если T ≥ T_c, то существует единственная трансляционно-инвариантная мера Гиббса (ТИМГ), а если T < T_c, то существует три ТИМГ. Мы определяем типичные конфигурации модели и стационарные распределения для достаточно высоких и достаточно низких температур.

Основное внимание сосредоточено на систематическом изучении структуры множества мер Гиббса. В этой статье мы представляем нетривиальную адаптацию известных методов, таких как критерий Мартинелли-Синклера-Вейца для определения экстремальности ТИМГ и критерий Кестена-Стигума для определения не экстремальности ТИМГ. Одним из важных вкладов этой статьи является нахождение областей экстремальности и не экстремальности для одной из ТИМГ на дереве Кэли общего порядка. Для других ТИМГ области экстремальности и не экстремальности определяются на деревьях Кэли порядков до 5.

1. Rozikov U.A., Rahmatullaev M.M. Description of weakly periodic Gibbs measures of the Ising model on the Cayley tree. Theoretical and Mathematical Physics, 2008, 156(2), P. 1218–1227.

2. Rozikov U.A. Gibbs Measures on Cayley Trees. World Scientific. Singapore, 2013.

3. Blekher P. M., Ganikhodjaev N. N. On pure phases of the Ising model on the Bethe lattice. Probability Theory and Its Applications, 1990, 35(2), P. 920–930.

4. Akin H., Rozikov U.A., Temur S. A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree. J.Stat.Phys., 2011, 142, P. 314–321.

5. Gandolfo D., Rozikov U.A., Ruiz J. Rahmatullaev M.M. On free energies of the Ising model on the Cayley tree. J.Stat.Phys., 2013, 150, P. 1201– 1217.

6. Gandolfo D., Haydarov F.H., Rozikov U.A., Ruiz J. New phase transitions of the Ising model on Cayley trees. J.Stat.Phys., 2013, 153, P. 400–411.

7. Rozikov U.A. Tree-hierarchy of DNA and distribution of Holliday junctions. J.Math.Biol., 2017, 75, P. 1715–1733.

8. Rozikov U.A. Holliday junctions for the Potts model of DNA. Algebra, Complex Analysis. Springer, Switzerland 2018, P. 151–165.

9. Rozikov U.A. Thermodynamics of interacting systems of DNA molecules. Theoretical and Mathematical Physics, 2021, 206(2), P. 174–183.

10. Khatamov N.M. Holliday junctions in the Blume-Capel model of DNA. Theoretical and Mathematical Physics, 2021, 206(3), P. 383–390.

11. Khatamov N.M. Holliday junctions in the HC Blume-Capel model in ”one case” on DNA. Nanosytems: physics, chemisry, mathematics, 2021, 12(5), P. 563–568.

12. Khatamov N.M., Malikov N.N. Holliday junctions in a set of DNA molecules for new translation-invariant Gibbs measures of the Potts model. Theoretical and Mathematical Physics, 2024, 218(2), P. 346–356.

13. Rozikov U.A. Thermodynamics of DNA-RNA renaturation. Inter.Jour.Geom.Methods Mod.Phys., 2021, 18(6), P. 2150096 (14 pages).

14. Rozikov U.A. Gibbs measures in biology and physics: The Potts model. World Sci. Publ. Singapore, 2022.

15. Alberts B., Johnson A., Lewis J., Raff M., Roberts K., Walter P. Molecular biology of the cell. 4-th edn. Garland Science, New York, 2002.

16. Swigon D. The mathematics of DNA structure, mechanics, and dynamics. Mathematics of DNA Structure, Function and Interactions, 2009, 150, P. 293–320.

17. Thompson C. Mathematical Statistical Mechanics, Princeton Univ. Press, Princeton, 1972.

18. Georgii H.-O. Gibbs measures and phase transitions. de Gruyter stadies in Math: Berlin, 1988.

19. Khatamov N.M. Extremality of the Gibbs measures for the HC-Blume–Capel model on the Cayley tree. Mathematical notes, 2022, 111(5), P. 768– 781.

20. Khatamov N.M., Khakimov R.M. Translation-invariant Gibbs measures for the Blume-Capel model on a Cayley tree. Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry, 2019, 15(2), P. 239–255.

21. Khatamov N.M. Periodic Gibbs measures and their extremes for the HC-Blume–Capel model in the case of a ”wand” on the Cayley tree. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, 43(9), P. 2515–2524.

22. Khatamov N.M. Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume-Capel model with a wand on a Cayley tree. Ukrainian Mathematical Journal, 2020, 72(4), P. 540–556.

23. Khatamov N.M. Periodic Gibbs measures and their extremality for the HC-Blume–Capel model in the case of a ”wand” with a chemical potential on the Cayley tree. Mathematical notes, 2024, 115(1), P. 89–101.

24. Mossel E. Reconstruction on trees: beating the second eigenvalue. Ann. Appl. Probab., 2001, 11(1), P. 285–300.

25. Mossel E., Peres Y. Information flow on trees. Ann. Appl. Probab., 2003, 13(3), P. 817–844.

26. Mossel E. Survey: information flow on trees. Graphs. Morphisms and statistical physics. Ser. Discrete Math. Theoret.Comput. Sci., 2004, 63, P. 155–170.

27. Rozikov U.A. Ishankulov F.T. Description of periodic p-harmonic functions on Cayley trees. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2010, 17, P. 153–160.

28. Bogachev L.V. and Rozikov U.A. On the uniqueness of Gibbs measure in the Potts model on a Cayley tree with external field. J. Stat. Mech. Theory Exp., 2019, 7, 073205. 77 pp.

29. Kulske C., Rozikov U.A. and Khakimov R.M. Description of all translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley ¨ tree. J. Stat. Phys., 2014, 156, P. 189–200.

30. Kulske C., Rozikov U.A. Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree. ¨ Random Structures Algorithms, 2017, 50, P. 636–678.

31. Haydarov F.H., Rozikov U.A. Gradient Gibbs measures of a SOS model on Cayley trees: 4-periodic boundary laws. Reports on Mathematical Physics, 2022. 90(1), P. 81–101.

32. Kesten H., Stigum B.P. Additional limit theorem for indecomposable multi-dimensional Galton-Watson processes. Annals of Mathematical Statistics, 1966, 37, P. 1463–1481.

33. Martinelli F., Sinclair A., Weitz D. Fast mixing for independent sets, coloring and other models on trees. Random Structures and Algoritms, 2007, 31, P. 134–172.